10.2 Poisson

Recordemos la ecuación de la distribución Poisson:

\[\begin{equation} P\left( x \right) = \frac{{e^{ - \mu } \mu ^x }}{{x!}} \tag{9.1} \end{equation}\]

Donde:

\(\mu\) es el número medio de ocurrencia (éxitos) en un intervalo en particular. \(e\) es la constante 2.71828 (constante de Euler). \(x\) es el numero de ocurrencias (éxitos). \(P(x)\) es la probabilidad de un valor especifico de \(x\). \(!\) es la función factorial.

De igual forma que en la distribución binomial, no nos dejemos intimidar por la complejidad de la ecuación y usemos el algebra del modelo que es mucho más sencilla. Si desea entender un poco mejor el proceso Poisson vean el video que preparó Khan Academy.

\[\begin{equation} P\left( x \right) \sim \mathbf{Pois}(\lambda) \tag{9.1} \end{equation}\]

Donde:

\(P(x)\) es la probabilidad de un valor especifico de \(x\), el cual se distribuye de acuerdo a la distribución Poisson (\(Pois\)) y que equivaldría a un valor específico del conteo. \(\lambda\) es la media de la distribución.

n <- 100
lambda <- 10
poisson_data <- data.frame('data' = rpois(n, lambda))


library(tidyverse)
poisson_data %>% ggplot() + 
  geom_histogram(aes(x = data, 
                     y = stat(count / sum(count))), 
                     color = 'black',
                 binwidth = 1) +
  geom_vline(xintercept = lambda, 
             size = 1, 
             linetype = 'dashed',
             color = 'red') +
  theme_bw() +
  labs(x = 'Number of successes per period',
       y = 'Proportion',
       title = '1,000 samples of Pois(lambda = 10)')

Ejercicio:

Use el modelo para variar n y lambda… vea que sucede.